32.

1. L
P₁= 0,1 = 0,5

2. LLR
P₂= 0,110 = 0,75

3. LLRLLRR
P₃= 0,1101100 = 0.84375

4. LLRLLRRLLLRRLRR
P₄= 0.110110011100100 = 0.8507080078125

5. LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR

P₅= 0.1101100111001001110110001100100 = 0.8507361877709627152

6.
LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRRLLLRLLRRLLLRRLRRRLLRLLRRRLLRRLRR
P₆=0.110110011100100111011000110010011101100111001000110110001100100
= 0.8507361882018672602

7. LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRRLLLRLLRRLLLRRLRRRLLRLLRRRLLRRLRRLLLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRRRLLRLLRRLLLRRLRRRLLRLLRRRLLRRLRR

P₇= 0,11011001110010001101100011001001110110011100100111011
0001 10010001101100111001000110110001100100
= 0.8507361882018672604

8. LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRRLLLRLLRRLLLRRLRRRLLRLLRRRLLRRLRRLLLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRRRLLRLLRRLLLRRLRRRLLRLLRRRLLRRLRRLLLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRRLLLRLLRRLLLRRLRRRLLRLLRRRLLRRLRRRLLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRRRLLRLLRRLLLRRLRRRLLRLLRRRLLRRLRR
P₈ = 0.110110011100100111011000110010011101100111001000110110001100100111011001110010011101100011001000110110011100100011011000110010011101100111001001110110001100100111011001110010001101100011001000110110011100100111011000110010001101100111001000110110001100100
= 0.8507361882018672604

33. Die Folge konvergiert (gegen P, "Papierfaltungszahl").

34. Die Zahl P ist irrational (weder endlich noch periodisch) und sogar transzendent (nicht Lösung einer algebraischen Gleichung a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... a₁ x + a₀ = 0 mit ganzen a_i).

35. Mit L=0 ind R=1 erhält man 1 - P = 0.1492638117981327396...

36. P = 0, 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 ..

Alternierendes Einfüllen von 1 und 0 in P ergibt eine Zahl Q₁:

Q₁ = 0, 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1.
P und Q₁ sind gleich; das alternierende Einfüllen von 0 und 1 in P ändert den Wert von P nicht !
Dem Einfüllen von 1-0 entspricht das Hinzufügen von L- und R-Ecken.

37. Weglassen von 1-0 ergibt eine Zahl Q₂:

Q₂ = 0, 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1

P und Q₂ sind gleich; Weglassen (Dezimieren) von 1-0 (entsprechend dem Weglassen von L- und R-Ecken) in P ändert den Wert nicht.

38. Nullen in P einfüllen ergibt eine Zahl R:

R = 0, 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 .

P ungleich R

39. Differenz von P und R:

 P    = 0,1101100111001001...
 R    = 0,01010001010000010101000001.
P-R   = 0,1000100010001000...
        ______
      = 0,1000

P - R ist periodisch, also rational.

40. Dezimaler Wert von P - R= 1/2 + 2^-5 + 2^-9 + 2^-13 + 2^-17 + .... = 0,53333333...

41. P - R = s₁ + s₅ +s₉ +s₁₃ +s₁₇ + ...... = s (1 + (s⁴)¹ + (s⁴)² + (s⁴)³ + (s⁴)⁴ + ......)
= s/(1 - s⁴) = 8/15 = 0,533333... (s = Basis = 1/2)

42. Zeige: Bei der Subtraktion in 39 steht über einer 1 in R immer eine 1 in P (d.h. es tritt kein Übertrag auf).
Hinweis: in R steht eine 1 stets an ungerader Position 2k+1 (k=0,1,..); benutze den Automaten für P.

Die 1 in R an der ungeraden Position 2k+1 stand vor dem Einfüllen der Nullen auf Position k in P. Der Automat für P zeigt, daß bei einer 1 an der Stelle k auch an der Stelle 2k+1 eine 1 steht:

Es sei k = a₁ a₂ a₃ ...... a_n die Binärdarstellung von k; dann gilt;

2k = a₁ a₂ a₃ ...... a_n 0

(d.h. der Multiplikation einer Dualzahl mit 2 entspricht das Anhängen von 0)

Dann ist 2k+1 = a₁ a₂ a₃ ...... a_n 1

Also entspricht dem Übergang von Position k nach 2k+1 ein weiterer 1-Schritt von L aus; dies führt stets zu L (also 1)

45.

¹ = 3.14159265358979323846 ...

= [ 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 15, 198, ...]

46.

47. P = 0.8507361882018672604...

= [ 1, 5, 1, 2, 3, 21, 1, 4, 107, 7, 5, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 12...]

48. Komplexe Zahlenebene

In 31 wurde die Faltenfolge als reelle Zahl P im Dualsystem (Basis 2) betrachtet:
P = 0.110110011100100....

Ein geeignetes komplexes Zahlsystem erweckt den Drachen in der Gaußschen Zahlen-ebene zum Leben: die Darstellung ihrer Punkte durch komplexe Zahlen der Form z = x + i y mit Real- und Imaginärteil erfordert für ihre beiden Komponenten zwei Binärzahlen; es genügt jedoch eine einzige Binärzahl, wenn man eine komplexer Basis benutzt. Um sie als zweistellige Binärzahl schreiben zu können, darf der Betrag der Basis b nicht größer als 2 sein.

Beispiele:

Die Folge 0,1, 0,11, 0,111, 0,111, ... bildet eine Spirale und konvergiert gegen i = 0, 111111...

Die Menge aller durch Binärzahlen < 1 dargestellten komplexen Zahlen (also die Menge aller echten Brüche) bildet ein einfach zusammenhängendes Gebiet mit fraktalem Rand: den (gespiegelten) Zwillingsdrachen.

Mit 2000 Punkten (2x2 Pixel) erhält man das folgende Bild:

Der Generator des Zwillingsdrachens besteht aus Teilstrecken unterschiedlicher Länge. Seine Dimension D ist gegeben durch die Bedingung (a/2)D + xD + (a/2)D = 1 erhält man die kubische Gleichung 2 x3 + x = 1 mit der Lösung x=0,5897545... Die Dimension beträgt also D = 1,523627...