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Kosmologie

ist "die Lehre vom Kosmos, seiner allgemeinen Struktur sowie der zeitlichen Änderung dieser Struktur" (Lexikon der Astronomie, Spektrum-Verlag).

Eine wichtige Beobachtungsgrundlage für Aussagen über großräumige Bewegungsverhältnisse ist der Hubble-Effekt.

Er zeigt eine Expansion des Weltalls, die allgemein akzeptiert wird. Ebenfalls wird akzeptiert, dass die Expansion gebremst erfolgt. Es gibt dann drei Möglichkeiten:

Die bremsende Kraft (Gravitation) wird mit zunehmendem Radius immer schwächer, und die Geschwindigkeit der Expansion nähert sich einem konstanten Wert; R geht gegen unendlich.
hyperbolische Expansion

Die bremsende Kraft wird mit zunehmendem Radius ebenfalls immer schwächer; wegen genügend hoher Dichte kommt die Expansion erst nach unendlich langer Zeit mit endlichem Radius zum Stillstand.
parabolische Expansion
Die gegenseitige Anziehung bewirkt, dass die Expansion bereits nach endliche Zeit zum Stillstand kommt; anschließend kontrahiert das Weltall wieder bis zum "Big Crunch", es pulsiert.
zykloidische Expansion

Die Newtonsche Behandlung des expandierenden Weltalls liefert drei Typen von Modellen, deren Eigenschaften überraschenderweise mit denen einer relativistischen Behandlung übereistimmen.

Art der Expansion
Gesamtenergie E
hyperbolische Expansion
E > 0
parabolische Expansion
E = 0
zykloidische Expansion
E < 0

Wir betrachten eine Galaxis am Rand der kosmischen Explosionswolke (Radius R), also im Abstand R vom Zentrum. Die Gravitationskraft auf der Kugeloberfläche hängt nur von der Masse M innerhalb der Kugel ab.

Die Gesamtenergie E der Galaxis (Masse m, Geschwindigkeit v) setzt sich aus kinetischer Energie
T = 1/2 m v2 und potentieller Energie U = - G m M/R und ist nach dem Energiesatz konstant:

E = T + U = 1/2 m v2 - G m M / R

Die Gesamtenergie pro Masse (W = E/m) ist:

W = 1/2 v2 - G M / R

Mit der Gravitationsbeschleunigung g aus mg = G m M / R2 ergibt sich dann:

W = 1/2 v2 - g R

Die Expansion erfolgt genauso wie bei einer Rakete, die mit der Geschwindigkeit v0 senkrecht von der Erdoberfläche (Radius R, Masse M) startet.

Die Geschwindigkeit im Abstand r (r > R) ist

v(r) = [2 g R2/r - 2 abs(W)]1/2

Die Flugbahn der Rakete hängt von ihrer Gesamtenergie W ab:  

Gesamtenergie/Masse
Startgeschwindigkeit
Flugbahn
Zeitfunktion r(t)
W < 0
v0 < (2 g R)1/2
Rückkehr zur Erde

rmax = g R2/abs(W)

v(Rmax) = 0
Zykloide
W < 0

W = - gR/2
v0 = (g R)1/2

1. kosmische
Geschwindigkeit
Rückkehr zur Erde

rmax = 2 R

v(rmax) = 0
Zykloide
W = 0
v0 = (2 g R)1/2

2. kosmische
Geschwindigkeit
rmax = inf

v >= 0
Parabel

t2/3
W > 0
v0 > (2 g R)1/2
Rakete kann sich von der Erde lösen

v >= (2 W)1/2
Hyperbel

Das Applet zeigt die Fälle W<0, W=0 und W>0.

Die Applet-Parameter sind für die Fallbeschleunigung (z.B.: Erde 9,81 m/s2) und Radius (z.B.: Erde 6371 km) vogesehen:

<PARAM NAME=gravitation VALUE="9.81">

<PARAM NAME=radius VALUE="6371">

 

1. W < 0

Im Geschwindigkeitsbalken sind die 1. und 2. kosmische Geschwindigkeit markiert (7,91 km/s und 11,2 km/s für die Erde, g=9,81 m/s2, R=6371 km).

Die Integration der Differentialgleichung

dr/dt = v(r) = [2 g R2/r - 2 abs(W)]1/2

ist nicht ganz trivial. Es ist einfacher, von der Lösung auszugehen und zu zeigen, dass sie der Differentialgleichung genügt (siehe Gehrtsen, Vogel: Physik, Kap. 1.5.9 e9).

Falls W<0 ergibt sich für r(t) ein Stück einer Zykloide (wie beim Abrollen eines Kreises mit dem Radius a). Sie besitzt die Parameter-Darstellung:

y = a·(1 - cos(phi))

x = a·(phi - sin(phi))

 
2. W = 0

Aus der Energiegleichung

1/2 m v2 = G R2 / r

ergibt sich

v(r) = R (2 G)1/2 / r1/2

Die Zeitfunktionen sind:

r(t) = p t2/3 mit p = (9gR2/2)1/3

v(t) = 2/3 p t-1/3

3. W > 0

Die Lösung lautet in Parameterdarstellung:

y = a (cosh(x) - 1)

t = a (sinh(x) - x)

mit den hyperbolischen Funktionen sinh(x) = (ex - e-x)/2 und cosh(x) = (ex + e-x)/2. Die Geschwindigkeit v(t) ist

v(t) = dy/dt = (dy/dx) (dx/dt) = 0.5 a (et - e-t) / (0.5 a (et + e-t) - 1)

 

Kritische Dichte des Universums

Aus der Energiegleichung

E = T + U = 1/2 m v2 - G m M / R

ergibt sich mit dem Hubble-Gesetz v = H R und der mittleren Dichte rho der Universums und seiner Masse M = rho 4 pi R3/3 für den Wert E=0 die kritische Dichte rhoc

E = 1/2 m H2 R2 - (4 pi/3) G m rhoc pi R2 = m R2 (H2/3 - (4 pi/3) G rhoc) = 0

rhoc = 3 H2/(8 pi G)

H = 50 km/s Mpc-1
= 1,6·10-18 1/s
H = 100 km/s Mpc-1
= 3,2·10-18 1/s
rhoc = 4,6·10-27 kg/m3
rhoc = 1,8·10-26 kg/m3

 

Web Links

The Hot Big Bang Model (University of Cambridge)

Cosmology and What Happened Before the Big Bang (Sten Odenwald)

Hubble Space Telescope on Track for Measuring the Expansion Rate of the Universe

High Redshift Supernova Search Home Page of the Supernova Cosmology Project

Measuring the Cosmic Deceleration of the Universe with Type Ia Supernovae

Red Clump Stars as Distance Indicator

http://cfa-www.harvard.edu/~peterg/

Current Cosmology Eprints (Uni Basel)

Überblick Kosmologie

Stephen Hawking's Universe

Cosmology for Beginners

Bücher, Zeitschriften

Goenner, Hubert: Einführung in die Kosmologie;
Spektrum Verlag, Heidelberg 1994, ISBN 3-86025-332-8.

Spektrum der Wissenschaft, Dossier, Bd.2000/2 Kosmologie. Die Struktur des Universums; Verborgene Galaxien; Das Schicksal des Lebens; Was geschah vor dem Urknall?. 2000.

Federspiel, M. u. a.: Der Wert der Hubble-Konstante, Teil 1;
Sterne und Weltraum, 4/1998, S. 333-339.

Labhardt, L. u. a.: Der Wert der Hubble-Konstante, Teil 2;
Sterne und Weltraum, 5/1998, S. 418-427.

Vaas, R.: Neuer Streit um die Weite des Alls;
Bild der Wissenschaft, 6/2000, S. 68-72.

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Letzte Änderung: 07.10.2023